--> Skip to main content

Share ke Teman Melalui :

Materi dan Pembahasan Soal Persamaan Lingkaran ( Kelas 11 )

m4thguru.info ~ Materi dan Pembahasan Soal Persamaan Lingkaran ( Kelas 11 ), Berikut ini Kkatri bagikan materi tentang persammaan lingkaran materi kelas 11 Matematika wajib Kurikulum 2013

Materi dan Pembahasan Soal Persamaan Lingkaran ( Kelas 11 )

Persamaan-Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan dalam grafik cartesius.

Jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu itu dinamakan pusat lingkaran

Menurut rumus, jarak dua titik A( $x_A , y_A$ ) dan B( $B_x , B_y$ ) dapat ditentukan dengan

rumus : AB = $\sqrt{(x_B - x_A )^2 + (y_B - yA )^2}$….……………..(1)

gambar 1 Materi dan Pembahasan Soal Persamaan Lingkaran ( Kelas 11 )


Jika titik pada lingkaran dimisalkan M(x, y)

dan pusat lingkarannya di O(0, 0) , maka 

Jari-jari = OM

r = $\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}$

r = $\sqrt{x^2 + y ^2}$

$r^2$ = $x^2 + y^2$

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah

$x^2 + y^2 = r^2$ ………………………………………. (2)

Untuk lebih jelasnya pelajarailah contoh soal berikut ini

1 Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 4$\sqrt{2}$

Jawab

$x^2 + y^2 = r^2$

$x^2 + y^2 = $(4$\sqrt{2}$)^2$

$x^2 + y^2 = 32$

2. Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui (–4, 3)

Jawab

persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$

Karena melalui (–4, 3) maka : $(–4)^2 + (3)^2 = r^2$

16 + 9 = $r^2$

$r^2$ = 25

Sehingga persamaan lingkarannya : $x^2$ + $y^2$ = 25

O(0, 0)

3. Tentukanlah persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB dimana A(-2, 4) dan B(2, -4)

gambar 2 Materi dan Pembahasan Soal Persamaan Lingkaran ( Kelas 11 )

Jawab

persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$

Titik tengah AB adalah pusat lingkaran

Sehingga pusat : ($\frac{-2 + 2}{2},\frac{-2 + 2}{2}$)

Pusat (0, 0)

Jari jari lingkaran =$\frac{1}{2}AB$

$r =\frac{1}{2}\sqrt{(2 - (- 2)) ^2 + (-4 - 4)^2}$

$r =\frac{1}{2}\sqrt{4 ^2 + 8^2}$

$r =\frac{1}{2}\sqrt{80}$

$r =\frac{1}{2}(4\sqrt{5})$

$r =2\sqrt{5}$

Jadi persamaan lingkaran : $x^2 + y^2 =(2\sqrt{5})^2$

$x^2 + y^2 = 20$

Dengan cara yang sama, untuk pusat lingkaran di P(a, b) maka didapat ;

Jari-jari = PM

r = $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$

$r^2$ = $(x-a)^2 + (y-b)^2$

gambar 3 Materi dan Pembahasan Soal Persamaan Lingkaran ( Kelas 11 )

Jadi persamaan lingkaran yang

berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r

adalah

 $(x-a)^2 + (y-b)^2$=$r^2$……….................................…………………….. (3)

Jika rumus (3) diuraikan maka akan diperoleh bentuk

 $(x-a)^2 + (y-b)^2$=$r^2$

$x^2 – 2ax + a^2 + y^2 – 2by + b^2 = r^2$

$x^2 + y^2 – 2ax – 2by + a^2 + b^2 – r^2 = 0$

Jika bentuk terakhir ini dianalogikan ke dalam bentuk $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ , maka

akan diperoleh : -2a = A sehingga a =  - $\frac{1}{2}A$

-2b = B sehingga b =  $ - \frac{1}{2}B$

$a^2 + b^2 – r^2 = C$ maka r = $\sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C}$

Jadi persamaan umum lingkaran adalah

$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ …………….............………………………….. (4)

dimana pusat lingkaran di P($ - \frac{A^2}{2} , - \frac{B^2}{2}$)

dan jari-jari r = $\sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C}$

Untuk lebih jelasnya pelajarailah contoh soal berikut ini

4. Tentukanlah bentuk umum lingkaran yang berpusat di P(2, –3) dan berjari-jari 5

Jawab

$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$

$(x – 2)^2 + (y – [–3])^2 = 5^2$

(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

Jika bentuk ini diuraikan menjadi bentuk umum, akan diperoleh

$x^2 – 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25$

$x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$

5. Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran $x^2 + y^2 + 6x – 10y + 18 = 0$

Jawab

Pusat P =( $-\frac{A}{2} , -\frac{B}{2}$ )

P =( $-\frac{6}{2} , -\frac{(-10)}{2}$ )

P = (–3, 5)

Jari Jari : r = $\sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C}$

r = $\sqrt{\frac{6^2}{4} + \frac{(-10)^2}{4} - 18}$

r = $\sqrt{9 + 25 - 18}$

r = $\sqrt{16}$

r = 4

6. Jika diameter lingkaran adalah ruas garis AB dimana A(2, 3) dan B(–6, –1) maka tentukanlah persamaan lingkaran tersebut

Jawab

persamaan lingkaran $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$

Titik tengah AB adalah pusat lingkaran

Sehingga pusat : P =( $-\frac{2+(-6)}{2} , -\frac{(3 + (-1))}{2}$ )

Pusat (–2, 1)

Jari jari lingkaran =$\frac{1}{2}AB$

r = $\frac{1}{2}\sqrt{(2 - (-6))^2 + (3 - (-1))^2}$

r = $\frac{1}{2}\sqrt{(8)^2 + (4)^2}$

r = $\frac{1}{2}\sqrt{64 + 16}$

r = $\frac{1}{2}\sqrt{80}$

r = $\frac{1}{2}4\sqrt{5}$

r = $2\sqrt{5}$

Jadi persamaan lingkaran : $(x – (–2))^2 + (y – 1)^2 =(2\sqrt{5})^2

$(x + 2)^2 + (y – 1)^2 = 20$

$x^2 +4x + 16 + y^2 – 2y + 1 = 20$

$x^2 + y^2 + 4x – 2y – 15 = 0$

7. Diketahui A($x_1 , y_1$) dan B($x_2 , y_2$). Buktikanlah bahwa persamaan lingkaran yang

diameternya AB adalah (x – $x_1$)(x – $x_2$) + (y – $y_1$)(y – $y_2$) = 0

Jawab

Diameter lingkaran = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

r =$\frac{1}{2}\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Pusat lingkaran P($\frac{1}{2}(x_1 + x_2) , \frac{1}{2}(y_1 + y_2)$)


Maka

Jika suatu lingkaran berpusat di P(a, b) dan menyinggung garis Ax + By + C = 0, maka

persamaannya adalah : $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$

Dimana 

Sebagai contoh suatu lingkaran yang berpusat di P(3, 2) dan menyinggung garis 6x + 8y + 26 = 0 mempunyai jari-jari :


Persamaan lingkarannya adalah ; $(x – 3)^2 + (y – 2)^2 = 25$

Soal Persamaan-Persamaan Lingkaran

01. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari $2/sqrt{3}$ adalah…

A. $x^2 + y^2 = 36$ 

B. $x^2 + y^2 = 18$  

C. $x^2 + y^2 = 12$

D. $x^2 + y^2 = 6$ 

E. $x^2 + y^2 = 9$

02. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari $2\frac{1}{3}$ adalah…

A. $x^2 + y^2 = 49$ 

B. $x^2 + y^2 = 25$ 

C. $3x^2 + 3y^2 = 49$

D. $9x^2 + 9y^2 = 49$ 

E. $7x^2 + 7y^2 = 9$

03. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (8, –6) adalah…

A. $x^2 + y^2 = 50$ 

B. $x^2 + y^2 = 100$ 

C. $x^2 + y^2 + 100 = 0$

D. $x^2 + y^2 + 50 = 0$ 

E. $x^2 + y^2 = 25$

04. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (2$\sqrt{3}$ , 3) adalah…

A. $x^2 + y^2 = 13$ 

B. $x^2 + y^2 = 20$ 

C. $x^2 + y^2 = 21$

D. $x^2 + y^2 = 24$ 

E. $x^2 + y^2 = 34$

05. Jari-jari lingkaran $9x^2 + 9y^2 = 25$ adalah …

A. 25/9 B. 5 C. 5/9

D. 25/3 E. 5/3

06. Jari-jari lingkaran $5x^2 + 5y^2 = 12$ adalah …

A. $\frac{2]{5}\sqrt{15}$

B. $2\sqrt{3}$ 

C. $\frac{2]{5}\sqrt{3}$

D. $\sqrt{15}$ 

E. $\frac{2]{3}\sqrt{15}$

07. Persamaan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis AB dimana A(3, 1) dan

B(–3, –1) adalah…

A. $x^2 + y^2$ = 20 

B. $x^2 + y^2$ = 15 

C. $x^2 + y^2$ = 12

D. $x^2 + y^2$ = 10 

E. $x^2 + y^2$ = 5

08. Lingkaran L1 sepusat (konsentris) dengan lingkaran L2 : $x^2 + y^2$ = 12. Sedangkan jarijari

lingkaran L1 sama dengan dua kali jari-jari lingkaran L2 . Persamaan lingkaran L1

adalah

A. $x^2 + y^2$ = 48 

B. $x^2 + y^2$ = 64 

C. $x^2 + y^2$ = 24

D. $x^2 + y^2$ = 36 

E. $x^2 + y^2$ = 96

09. Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis –garis dengan persamaan x = –5,

x = 5, y = –5 dan y = 5. Persamaan lingkaran yang menyinggung sisi-sisi persegi

tersebut adalah…

A. $x^2 + y^2$ = 50 

B. $x^2 + y^2$ = 100 

C. $x^2 + y^2$ = 5

D. $x^2 + y^2$ = 25 

E. $x^2 + y^2$ = 10

10. Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis –garis dengan persamaan x = –6, x = 6,

y = –6 dan y = 6. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik sudut persegi tersebut

adalah…

A. $x^2 + y^2$ = 36 

B. $x^2 + y^2$ = 60 

C. $x^2 + y^2$ = 72

D. $x^2 + y^2$ = 25 

E. $x^2 + y^2$ = 12

11. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis 4x – 3y – 50 = 0

adalah …

A. $x^2 + y^2$ = 50 

B. $x^2 + y^2$ = 75 

C. $x^2 + y^2$ = 80

D. $x^2 + y^2$ = 84 

E. $x^2 + y^2$ = 100

12. Tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenuhi { P(x,y)│ BP=2AP }, dimana

A(0, 2) dan B(0, 8) adalah …

A. $x^2 + y^2$ = 16 

B. $x^2 + y^2$ = 32 

C. $x^2 + y^2$ = 8

D. $x^2 + y^2$ = 10 

E. $x^2 + y^2$ = 20

13. Bentuk umum lingkaran yang berpusat di titik P(–3, 5) dan berjari-jari 4 adalah…

A. $x^2 + y^2$ – 6x + 10y + 18 = 0 

B. $x^2 + y^2$ + 6x – 10y + 18 = 0

C. $x^2 + y^2$ + 3x – 5y + 18 = 0 

D. $x^2 + y^2$ – 3x + 5y + 18 = 0

E. $x^2 + y^2$ – 6x + 10y – 18 = 0

14. Persamaan umum lingkaran yang berpusat di P(4, –6) dan menyinggung sumbu x

adalah …

A. $x^2 + y^2$ – 8x + 12y + 16 = 0 

B. $x^2 + y^2$ + 8x – 12y – 16 = 0

C. $x^2 + y^2$ – 8x + 12y + 36 = 0 

D. $x^2 + y^2$ + 8x – 12y – 36 = 0

E. $x^2 + y^2$ – 8x + 6y – 16 = 0

15. Dari lingkaran $x^2 + y^2$ – 4x – 2y – 31 = 0 maka pusat dan jari-jarinya adalah …

A. Pusat P(–2, 1) dan jari-jari r = 6 

B. Pusat P(2, –1) dan jari-jari r = 12

C. Pusat P(2, 1) dan jari-jari r = 8 

D. Pusat P(4, 2) dan jari-jari r = 8

E. Pusat P(2, 1) dan jari-jari r = 6

16. Dari lingkaran $3x^2 + 3y^2$ + 6x – 18y + 18 = 0 maka pusat dan jari-jarinya adalah …

A. Pusat P(–3, 9) dan jari-jari r = 12 

B. Pusat P(3, –9) dan jari-jari r = 12

C. Pusat P(–1, 3) dan jari-jari r = 2 

D. Pusat P(1, –3) dan jari-jari r = 2

E. Pusat P(–1, 3) dan jari-jari r = 4

17. Dari lingkaran $(2x + 6)^2 + (2y – 4)^2$ = 64 maka pusat dan jari-jarinya adalah …

A. Pusat P(–3, 2) dan jari-jari r = 8 

B. Pusat P(3, –2) dan jari-jari r = 8

C. Pusat P(–3, 2) dan jari-jari r = 4$\sqrt{2}$ 

D. Pusat P(3, –2) dan jari-jari r = 4$\sqrt{2}$ 

E. Pusat P(–3, 2) dan jari-jari r = 4

18. Jika lingkaran L1 sepusat (konsentris) dengan lingkaran L2 : x2 + y2 + 6x – 8y + 5 = 0.

Tetapi jari-jari lingkaran L1 sama dengan seperempat kali jari-jari lingkaran L2 .

Persamaan lingkaran L1 adalah …

A. $x^2 + y^2$ +8x – 16y + 80 = 0 

B. $4x^2 + 4y^2$ + 24x – 32y + 95 = 0

C. $2x^2 + 2y^2$ + 12x – 16y + 75 = 0 

D. $x^2 + y^2$ + 6x – 8y + 60 = 0

E. $2x^2 + 2y^2$ + - 6x + 8y – 31 = 0

19. Diketahui lingkaran $x^2 + y^2$ + ax – 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu X. Nilai a = …

A. 5 

B. –3 

C. 2

D. 6 

E. –4

20. Jika diameter suatu lingkaran adalah ruas garis AB dimana A(4, 6) dan B(–2, –2),

maka persamaan lingkaran tersebut adalah …

A. $(x + 1)^2 + (y + 2)^2$ = 25 

B. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2$ = 25

C. $(x + 1)^2 + (y – 2)^2$ = 16 

D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2$ = 16

E. $(x – 2)^2 + (y + 1)^2$ = 9

21. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(0, 0), B(4, 0) dan C(0, 2) adalah …

A. $x^2 + y^2$ – 4x – 2y = 0 

B. $x^2 + y^2$ – 8x – 2y + 15 = 0

C. $x^2 + y^2$ + 6x – 4y – 6 = 0 

D. $x^2 + y^2$ – 6x + 2y – 4 = 0

E. $x^2 + y^2$ – 8x + 2y = 0

22. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(2, 2), B(2, –4) dan C(5, –1) adalah

A. $x^2 + y^2$ – 4x + 6y – 5 = 0 

B. $x^2 + y^2$ + 6x – 4y – 4 = 0

C. $x^2 + y^2$ + 2x – 6y – 3 = 0 

D. $x^2 + y^2$ – 4x + 2y – 4 = 0

E. $x^2 + y^2$ + 4x – 8y – 3 = 0

23. Persamaan parameter lingkaran yang pusatnya di (2, 1) dan berjari-jari 3 adalah...

A. x = 2 + 9.sinα dan y = 1 + 9.cosα

B. x = 4 + 3.sinα dan y = 2 + 3.cosα

C. x = 2 + 3.sinα dan y = 1 + 3.cosα

D. x = 2 – 9.sinα dan y = 1 – 9.cosα

E. x = –2 + 3.sinα dan y = –1 + 3.cosα

24. Persamaan lingkaran yang berpusat di (4, –3) dan berdiameter $\sqrt{80}$ adalah

A. $x^2 + y^2$ – 8x + 6y + 5 = 0 

B. $x^2 + y^2$ – 8x + 6y – 3 = 0

C. $x^2 + y^2$ – 8x – 6y – 3 = 0 

D. $x^2 + y^2$ + 8x – 6y + 4 = 0

E. $x^2 + y^2$ + 8x – 6y – 5 = 0

25. Lingkaran $3x^2 + 3y^2$ + 6x – 3ay – 12 = 0 mempu-nyai jari-jari 3. Nilai a = ….

A. –2 

B. –1 

C. 2

D. 3 

E. 4

26. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(2, -3) dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0

adalah …

A. $x^2 + y^2$ – 4x + 6y – 12 = 0 

B. $x^2 + y^2$ + 2x – 6y + 12 = 0

C. $x^2 + y^2$ + 4x – 6y – 12 = 0 

D. $x^2 + y^2$ + 4x + 6y + 12 = 0

E. $x^2 + y^2$ – 2x + 6y – 12 = 0

27. Jari-jari lingkaran pada gambar di samping adalah



A. 3 

B. 5

C. 7 

D. 10

E. 11

28. Persamaan lingkaran yang pusatnya P terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0 serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu y negatif adalah ...



A. $x^2 + y^2$ – 2x – 2y + 4 = 0

B. $x^2 + y^2$ – 4x – 4y + 4 = 0

C. $x^2 + y^2$ + 2x + 2y + 4 = 0

d. $x^2 + y^2$ + 4x + 4y + 8 = 0

E. $x^2 + y^2$ + 4x + 4y + 4 = 0

29 Pada segiempat ABCD di samping, jika AD = 26 cm dan BC = 11 cm maka keliling ABCD adalah ....



A. 74 cm 

B. 72 cm

C. 68 cm 

C. 64 cm

E. 58 cm

30. Persamaan lingkaran dengan pusat di titik (2, –3) dan menyinggung garis x = 5 adalah

A. $x^2 + y^2$ + 4x – 6y + 9 = 0 

B. $x^2 + y^2$ – 4x + 6y + 9 = 0

C. $x^2 + y^2$ – 4x + 6y + 4 = 0 

D. $x^2 + y^2$ – 4x – 6y + 9 = 0

Kunci Jawaban soal

untuk kunci jawaban soal silahkan kalian kunjungi link ini : 

Kunci Jawaban soal Persamaan lingkaran

Demikianlah Materi dan Pembahasan Soal Persamaan Lingkaran ( Kelas 11 ). semoga bermanfaat

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar