Materi dan Pembahasan Soal Persamaan Lingkaran ( Kelas 11 )
m4thguru.info ~ Materi dan Pembahasan Soal Persamaan Lingkaran ( Kelas 11 ), Berikut ini Kkatri bagikan materi tentang persammaan lingkaran materi kelas 11 Matematika wajib Kurikulum 2013
Persamaan-Persamaan Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan dalam grafik cartesius.
Jarak yang sama itu disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu itu dinamakan pusat lingkaran
Menurut rumus, jarak dua titik A( $x_A , y_A$ ) dan B( $B_x , B_y$ ) dapat ditentukan dengan
rumus : AB = $\sqrt{(x_B - x_A )^2 + (y_B - yA )^2}$….……………..(1)
Jika titik pada lingkaran dimisalkan M(x, y)
dan pusat lingkarannya di O(0, 0) , maka
Jari-jari = OM
r = $\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}$
r = $\sqrt{x^2 + y ^2}$
$r^2$ = $x^2 + y^2$
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah
$x^2 + y^2 = r^2$ ………………………………………. (2)
Untuk lebih jelasnya pelajarailah contoh soal berikut ini
1 Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 4$\sqrt{2}$
Jawab
$x^2 + y^2 = r^2$
$x^2 + y^2 = $(4$\sqrt{2}$)^2$
$x^2 + y^2 = 32$
2. Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui (–4, 3)
Jawab
persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$
Karena melalui (–4, 3) maka : $(–4)^2 + (3)^2 = r^2$
16 + 9 = $r^2$
$r^2$ = 25
Sehingga persamaan lingkarannya : $x^2$ + $y^2$ = 25
O(0, 0)
3. Tentukanlah persamaan lingkaran yang mempunyai diameter AB dimana A(-2, 4) dan B(2, -4)
Jawab
persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$
Titik tengah AB adalah pusat lingkaran
Sehingga pusat : ($\frac{-2 + 2}{2},\frac{-2 + 2}{2}$)
Pusat (0, 0)
Jari jari lingkaran =$\frac{1}{2}AB$
$r =\frac{1}{2}\sqrt{(2 - (- 2)) ^2 + (-4 - 4)^2}$
$r =\frac{1}{2}\sqrt{4 ^2 + 8^2}$
$r =\frac{1}{2}\sqrt{80}$
$r =\frac{1}{2}(4\sqrt{5})$
$r =2\sqrt{5}$
Jadi persamaan lingkaran : $x^2 + y^2 =(2\sqrt{5})^2$
$x^2 + y^2 = 20$
Dengan cara yang sama, untuk pusat lingkaran di P(a, b) maka didapat ;
Jari-jari = PM
r = $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$
$r^2$ = $(x-a)^2 + (y-b)^2$
Jadi persamaan lingkaran yang
berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r
adalah
$(x-a)^2 + (y-b)^2$=$r^2$……….................................…………………….. (3)
Jika rumus (3) diuraikan maka akan diperoleh bentuk
$(x-a)^2 + (y-b)^2$=$r^2$
$x^2 – 2ax + a^2 + y^2 – 2by + b^2 = r^2$
$x^2 + y^2 – 2ax – 2by + a^2 + b^2 – r^2 = 0$
Jika bentuk terakhir ini dianalogikan ke dalam bentuk $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ , maka
akan diperoleh : -2a = A sehingga a = - $\frac{1}{2}A$
-2b = B sehingga b = $ - \frac{1}{2}B$
$a^2 + b^2 – r^2 = C$ maka r = $\sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C}$
Jadi persamaan umum lingkaran adalah
$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ …………….............………………………….. (4)
dimana pusat lingkaran di P($ - \frac{A^2}{2} , - \frac{B^2}{2}$)
dan jari-jari r = $\sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C}$
Untuk lebih jelasnya pelajarailah contoh soal berikut ini
4. Tentukanlah bentuk umum lingkaran yang berpusat di P(2, –3) dan berjari-jari 5
Jawab
$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$
$(x – 2)^2 + (y – [–3])^2 = 5^2$
(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25
Jika bentuk ini diuraikan menjadi bentuk umum, akan diperoleh
$x^2 – 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25$
$x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$
5. Tentukanlah pusat dan jari-jari lingkaran $x^2 + y^2 + 6x – 10y + 18 = 0$
Jawab
Pusat P =( $-\frac{A}{2} , -\frac{B}{2}$ )
P =( $-\frac{6}{2} , -\frac{(-10)}{2}$ )
P = (–3, 5)
Jari Jari : r = $\sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C}$
r = $\sqrt{\frac{6^2}{4} + \frac{(-10)^2}{4} - 18}$
r = $\sqrt{9 + 25 - 18}$
r = $\sqrt{16}$
r = 4
6. Jika diameter lingkaran adalah ruas garis AB dimana A(2, 3) dan B(–6, –1) maka tentukanlah persamaan lingkaran tersebut
Jawab
persamaan lingkaran $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$
Titik tengah AB adalah pusat lingkaran
Sehingga pusat : P =( $-\frac{2+(-6)}{2} , -\frac{(3 + (-1))}{2}$ )
Pusat (–2, 1)
Jari jari lingkaran =$\frac{1}{2}AB$
r = $\frac{1}{2}\sqrt{(2 - (-6))^2 + (3 - (-1))^2}$
r = $\frac{1}{2}\sqrt{(8)^2 + (4)^2}$
r = $\frac{1}{2}\sqrt{64 + 16}$
r = $\frac{1}{2}\sqrt{80}$
r = $\frac{1}{2}4\sqrt{5}$
r = $2\sqrt{5}$
Jadi persamaan lingkaran : $(x – (–2))^2 + (y – 1)^2 =(2\sqrt{5})^2
$(x + 2)^2 + (y – 1)^2 = 20$
$x^2 +4x + 16 + y^2 – 2y + 1 = 20$
$x^2 + y^2 + 4x – 2y – 15 = 0$
7. Diketahui A($x_1 , y_1$) dan B($x_2 , y_2$). Buktikanlah bahwa persamaan lingkaran yang
diameternya AB adalah (x – $x_1$)(x – $x_2$) + (y – $y_1$)(y – $y_2$) = 0
Jawab
Diameter lingkaran = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
r =$\frac{1}{2}\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Pusat lingkaran P($\frac{1}{2}(x_1 + x_2) , \frac{1}{2}(y_1 + y_2)$)
Maka
Jika suatu lingkaran berpusat di P(a, b) dan menyinggung garis Ax + By + C = 0, maka
persamaannya adalah : $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$
Dimana
Sebagai contoh suatu lingkaran yang berpusat di P(3, 2) dan menyinggung garis 6x + 8y + 26 = 0 mempunyai jari-jari :
Persamaan lingkarannya adalah ; $(x – 3)^2 + (y – 2)^2 = 25$
Soal Persamaan-Persamaan Lingkaran
01. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari $2/sqrt{3}$ adalah…
A. $x^2 + y^2 = 36$
B. $x^2 + y^2 = 18$
C. $x^2 + y^2 = 12$
D. $x^2 + y^2 = 6$
E. $x^2 + y^2 = 9$
02. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari $2\frac{1}{3}$ adalah…
A. $x^2 + y^2 = 49$
B. $x^2 + y^2 = 25$
C. $3x^2 + 3y^2 = 49$
D. $9x^2 + 9y^2 = 49$
E. $7x^2 + 7y^2 = 9$
03. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (8, –6) adalah…
A. $x^2 + y^2 = 50$
B. $x^2 + y^2 = 100$
C. $x^2 + y^2 + 100 = 0$
D. $x^2 + y^2 + 50 = 0$
E. $x^2 + y^2 = 25$
04. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (2$\sqrt{3}$ , 3) adalah…
A. $x^2 + y^2 = 13$
B. $x^2 + y^2 = 20$
C. $x^2 + y^2 = 21$
D. $x^2 + y^2 = 24$
E. $x^2 + y^2 = 34$
05. Jari-jari lingkaran $9x^2 + 9y^2 = 25$ adalah …
A. 25/9 B. 5 C. 5/9
D. 25/3 E. 5/3
06. Jari-jari lingkaran $5x^2 + 5y^2 = 12$ adalah …
A. $\frac{2]{5}\sqrt{15}$
B. $2\sqrt{3}$
C. $\frac{2]{5}\sqrt{3}$
D. $\sqrt{15}$
E. $\frac{2]{3}\sqrt{15}$
07. Persamaan lingkaran yang mempunyai diameter ruas garis AB dimana A(3, 1) dan
B(–3, –1) adalah…
A. $x^2 + y^2$ = 20
B. $x^2 + y^2$ = 15
C. $x^2 + y^2$ = 12
D. $x^2 + y^2$ = 10
E. $x^2 + y^2$ = 5
08. Lingkaran L1 sepusat (konsentris) dengan lingkaran L2 : $x^2 + y^2$ = 12. Sedangkan jarijari
lingkaran L1 sama dengan dua kali jari-jari lingkaran L2 . Persamaan lingkaran L1
adalah
A. $x^2 + y^2$ = 48
B. $x^2 + y^2$ = 64
C. $x^2 + y^2$ = 24
D. $x^2 + y^2$ = 36
E. $x^2 + y^2$ = 96
09. Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis –garis dengan persamaan x = –5,
x = 5, y = –5 dan y = 5. Persamaan lingkaran yang menyinggung sisi-sisi persegi
tersebut adalah…
A. $x^2 + y^2$ = 50
B. $x^2 + y^2$ = 100
C. $x^2 + y^2$ = 5
D. $x^2 + y^2$ = 25
E. $x^2 + y^2$ = 10
10. Sisi-sisi sebuah persegi ditentukan oleh garis –garis dengan persamaan x = –6, x = 6,
y = –6 dan y = 6. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik sudut persegi tersebut
adalah…
A. $x^2 + y^2$ = 36
B. $x^2 + y^2$ = 60
C. $x^2 + y^2$ = 72
D. $x^2 + y^2$ = 25
E. $x^2 + y^2$ = 12
11. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan menyinggung garis 4x – 3y – 50 = 0
adalah …
A. $x^2 + y^2$ = 50
B. $x^2 + y^2$ = 75
C. $x^2 + y^2$ = 80
D. $x^2 + y^2$ = 84
E. $x^2 + y^2$ = 100
12. Tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenuhi { P(x,y)│ BP=2AP }, dimana
A(0, 2) dan B(0, 8) adalah …
A. $x^2 + y^2$ = 16
B. $x^2 + y^2$ = 32
C. $x^2 + y^2$ = 8
D. $x^2 + y^2$ = 10
E. $x^2 + y^2$ = 20
13. Bentuk umum lingkaran yang berpusat di titik P(–3, 5) dan berjari-jari 4 adalah…
A. $x^2 + y^2$ – 6x + 10y + 18 = 0
B. $x^2 + y^2$ + 6x – 10y + 18 = 0
C. $x^2 + y^2$ + 3x – 5y + 18 = 0
D. $x^2 + y^2$ – 3x + 5y + 18 = 0
E. $x^2 + y^2$ – 6x + 10y – 18 = 0
14. Persamaan umum lingkaran yang berpusat di P(4, –6) dan menyinggung sumbu x
adalah …
A. $x^2 + y^2$ – 8x + 12y + 16 = 0
B. $x^2 + y^2$ + 8x – 12y – 16 = 0
C. $x^2 + y^2$ – 8x + 12y + 36 = 0
D. $x^2 + y^2$ + 8x – 12y – 36 = 0
E. $x^2 + y^2$ – 8x + 6y – 16 = 0
15. Dari lingkaran $x^2 + y^2$ – 4x – 2y – 31 = 0 maka pusat dan jari-jarinya adalah …
A. Pusat P(–2, 1) dan jari-jari r = 6
B. Pusat P(2, –1) dan jari-jari r = 12
C. Pusat P(2, 1) dan jari-jari r = 8
D. Pusat P(4, 2) dan jari-jari r = 8
E. Pusat P(2, 1) dan jari-jari r = 6
16. Dari lingkaran $3x^2 + 3y^2$ + 6x – 18y + 18 = 0 maka pusat dan jari-jarinya adalah …
A. Pusat P(–3, 9) dan jari-jari r = 12
B. Pusat P(3, –9) dan jari-jari r = 12
C. Pusat P(–1, 3) dan jari-jari r = 2
D. Pusat P(1, –3) dan jari-jari r = 2
E. Pusat P(–1, 3) dan jari-jari r = 4
17. Dari lingkaran $(2x + 6)^2 + (2y – 4)^2$ = 64 maka pusat dan jari-jarinya adalah …
A. Pusat P(–3, 2) dan jari-jari r = 8
B. Pusat P(3, –2) dan jari-jari r = 8
C. Pusat P(–3, 2) dan jari-jari r = 4$\sqrt{2}$
D. Pusat P(3, –2) dan jari-jari r = 4$\sqrt{2}$
E. Pusat P(–3, 2) dan jari-jari r = 4
18. Jika lingkaran L1 sepusat (konsentris) dengan lingkaran L2 : x2 + y2 + 6x – 8y + 5 = 0.
Tetapi jari-jari lingkaran L1 sama dengan seperempat kali jari-jari lingkaran L2 .
Persamaan lingkaran L1 adalah …
A. $x^2 + y^2$ +8x – 16y + 80 = 0
B. $4x^2 + 4y^2$ + 24x – 32y + 95 = 0
C. $2x^2 + 2y^2$ + 12x – 16y + 75 = 0
D. $x^2 + y^2$ + 6x – 8y + 60 = 0
E. $2x^2 + 2y^2$ + - 6x + 8y – 31 = 0
19. Diketahui lingkaran $x^2 + y^2$ + ax – 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu X. Nilai a = …
A. 5
B. –3
C. 2
D. 6
E. –4
20. Jika diameter suatu lingkaran adalah ruas garis AB dimana A(4, 6) dan B(–2, –2),
maka persamaan lingkaran tersebut adalah …
A. $(x + 1)^2 + (y + 2)^2$ = 25
B. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2$ = 25
C. $(x + 1)^2 + (y – 2)^2$ = 16
D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2$ = 16
E. $(x – 2)^2 + (y + 1)^2$ = 9
21. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(0, 0), B(4, 0) dan C(0, 2) adalah …
A. $x^2 + y^2$ – 4x – 2y = 0
B. $x^2 + y^2$ – 8x – 2y + 15 = 0
C. $x^2 + y^2$ + 6x – 4y – 6 = 0
D. $x^2 + y^2$ – 6x + 2y – 4 = 0
E. $x^2 + y^2$ – 8x + 2y = 0
22. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A(2, 2), B(2, –4) dan C(5, –1) adalah
A. $x^2 + y^2$ – 4x + 6y – 5 = 0
B. $x^2 + y^2$ + 6x – 4y – 4 = 0
C. $x^2 + y^2$ + 2x – 6y – 3 = 0
D. $x^2 + y^2$ – 4x + 2y – 4 = 0
E. $x^2 + y^2$ + 4x – 8y – 3 = 0
23. Persamaan parameter lingkaran yang pusatnya di (2, 1) dan berjari-jari 3 adalah...
A. x = 2 + 9.sinα dan y = 1 + 9.cosα
B. x = 4 + 3.sinα dan y = 2 + 3.cosα
C. x = 2 + 3.sinα dan y = 1 + 3.cosα
D. x = 2 – 9.sinα dan y = 1 – 9.cosα
E. x = –2 + 3.sinα dan y = –1 + 3.cosα
24. Persamaan lingkaran yang berpusat di (4, –3) dan berdiameter $\sqrt{80}$ adalah
A. $x^2 + y^2$ – 8x + 6y + 5 = 0
B. $x^2 + y^2$ – 8x + 6y – 3 = 0
C. $x^2 + y^2$ – 8x – 6y – 3 = 0
D. $x^2 + y^2$ + 8x – 6y + 4 = 0
E. $x^2 + y^2$ + 8x – 6y – 5 = 0
25. Lingkaran $3x^2 + 3y^2$ + 6x – 3ay – 12 = 0 mempu-nyai jari-jari 3. Nilai a = ….
A. –2
B. –1
C. 2
D. 3
E. 4
26. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(2, -3) dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0
adalah …
A. $x^2 + y^2$ – 4x + 6y – 12 = 0
B. $x^2 + y^2$ + 2x – 6y + 12 = 0
C. $x^2 + y^2$ + 4x – 6y – 12 = 0
D. $x^2 + y^2$ + 4x + 6y + 12 = 0
E. $x^2 + y^2$ – 2x + 6y – 12 = 0
27. Jari-jari lingkaran pada gambar di samping adalah
A. 3
B. 5
C. 7
D. 10
E. 11
28. Persamaan lingkaran yang pusatnya P terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0 serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu y negatif adalah ...
A. $x^2 + y^2$ – 2x – 2y + 4 = 0
B. $x^2 + y^2$ – 4x – 4y + 4 = 0
C. $x^2 + y^2$ + 2x + 2y + 4 = 0
d. $x^2 + y^2$ + 4x + 4y + 8 = 0
E. $x^2 + y^2$ + 4x + 4y + 4 = 0
29 Pada segiempat ABCD di samping, jika AD = 26 cm dan BC = 11 cm maka keliling ABCD adalah ....
A. 74 cm
B. 72 cm
C. 68 cm
C. 64 cm
E. 58 cm
30. Persamaan lingkaran dengan pusat di titik (2, –3) dan menyinggung garis x = 5 adalah
A. $x^2 + y^2$ + 4x – 6y + 9 = 0
B. $x^2 + y^2$ – 4x + 6y + 9 = 0
C. $x^2 + y^2$ – 4x + 6y + 4 = 0
D. $x^2 + y^2$ – 4x – 6y + 9 = 0
Kunci Jawaban soal
untuk kunci jawaban soal silahkan kalian kunjungi link ini :
Kunci Jawaban soal Persamaan lingkaran
Demikianlah Materi dan Pembahasan Soal Persamaan Lingkaran ( Kelas 11 ). semoga bermanfaat
