--> Skip to main content

Share ke Teman Melalui :

Pembahasan Materi dan Soal Pertidaksamaan Rasional dan Pecahan

Pembahasan Materi dan Soal Pertidaksamaan Rasional dan Pecahan. materi singkat dan mudah dipahami dengan contoh soal pertidaksamaan rasional dan pecahan sengan pembahsan yang mudah dipahami dan jelas

Pembahasan Materi dan Soal Pertidaksamaan Rasional dan Pecahan

Pertidaksamaan Rasional

Pertidaksamaan rasional adalah suatu bentuk pertidaksamaan yang memuat fungsi rasional, yaitu fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}\) dengan syarat g(x) ≠ 0.

Bentuk umum pertidaksamaan rasional :

\(\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}\) > 0  atau  \(\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}\) ≥ 0  ; g(x) ≠ 0

\(\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}\) < 0  atau  \(\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}\) ≤ 0  ; g(x) ≠ 0.

Berikut hal-hal yang tidak dibenarkan dalam menyederhanakan bentuk pertidaksamaan rasional karena akan merubah domain fungsi tersebut :

  1. Kali silang $$\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}> c\;\;{\color{Red} \not\equiv}\;\; f(x)>c\,.\,g(x)}$$
  2. Mencoret fungsi ataupun faktor yang sama pada pembilang dan penyebut $$\mathrm{\frac{f(x)\,.\,g(x)}{g(x)}> c\;\;{\color{Red} \not\equiv}\;\; f(x)>c}$$


Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

  1. Nyatakan dalam bentuk umum.
  2. Tentukan pembuat nol pada pembilang dan penyebut.
  3. Tulis pembuat nol pada garis bilangan dan tentukan tanda untuk tiap-tiap interval pada garis bilangan.
  4. Tentukan daerah penyelesaian. Untuk pertidaksamaan ">" atau "≥" daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda positif dan untuk pertidaksamaan  "<" atau "≤" daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda negaitf.
  5. Dengan memperhatikan syarat bahwa penyebut tidak sama dengan nol, tulis himpunan penyelesaian yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.
Contoh 1
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{x-3}{x+1}}\) ≥ 0

Jawab :
Pembuat nol :
x − 3 = 0  ⇒ x = 3
x + 1 = 0  ⇒ x = −1

Syarat :
x + 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ −1

Untuk interval x < −1, ambil x = −2 :
\(\mathrm{\frac{-2-3}{-2+1}}\) = 5 (+)

Untuk interval −1 < x ≤ 3, ambil x = 0 :
\(\mathrm{\frac{0-3}{0+1}}\) = −3 (−)

Untuk interval x > 3, ambil x = 4 :
\(\mathrm{\frac{4-3}{4+1}}\) = \(\frac{1}{5}\) (+)


Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < −1 atau x ≥ 3}

Contoh 2
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{2x-1}{4-x}}\) > 0

Jawab :
Pembuat nol :
2x − 1 = 0  ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
4 − x = 0  ⇒ x = 4

Syarat :
4 − x ≠ 0  ⇒ x ≠ 4

Karena pertidaksamaan bertanda ">", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {\(\frac{1}{2}\) < x < 4}


Contoh 3
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{x^{2}-2x+1}{x+2}< 0}\)

Jawab :
\(\mathrm{\frac{(x-1)(x-1)}{x+2}<0}\)

Pembuat nol :
(x − 1)(x − 1) = 0  ⇒ x = 1
x + 2 = 0  ⇒ x = −2

Syarat :
x + 2 ≠ 0  ⇒ x ≠ −2

Karena pertidaksamaan bertanda "<", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x < −2}


Contoh 4
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{x-5}{x^{2}+6x+9}\leq 0}\)

Jawab :

\(\mathrm{\frac{x-5}{(x+3)(x+3)}\leq 0}\)

Pembuat nol :
x − 5 = 0  ⇒ x = 5
(x + 3)(x + 3) = 0  ⇒ x = −3

Syarat :
(x + 3)(x + 3) ≠ 0  ⇒ x ≠ −3

Karena pertidaksamaan bertanda "≤", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).

∴ HP = {x < −3 atau −3 < x ≤ 5} atau
   HP = {x ≤ 5 dan x ≠ −3}


Dari contoh-contoh diatas kita dapat menyimpulkan sebagai berikut :
  1. Pembuat nol pada penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong apapun tanda pertidaksamaan.
  2. Tanda untuk tiap-tiap interval selalu berselang-seling positif dan negatif jika pertidaksamaan memuat faktor linier yang berbeda (contoh 1 dan 2).
  3. Tanda untuk tiap-tiap interval menjadi tidak berselang-seling jika pertidaksamaan memuat faktor linier yang sama (contoh 3 dan 4).

Pertidaksamaan rasional yang memuat fungsi definit

Pada materi fungsi kuadrat kita mengenal adanya fungsi yang selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real (definit positif) dan fungsi yang selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real (definit negatif).


Fungsi definit positif dalam suatu pertidaksamaan rasional dapat diabaikan tanpa harus membalik tanda pertidaksamaan.

Contoh 5
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{x-4}{x^{3}+x}\leq 0}\)

Jawab :
\(\mathrm{\frac{x-4}{x(x^{2}+1)}\leq 0}\)

x2 + 1 merupakan fungsi definit positif, dapat dibuktikan dengan syarat definit positif yaitu : a > 0 dan D < 0.

Jadi, x2 + 1 dapat diabaikan tanpa harus membalik tanda pertidaksamaan, sehingga pertidaksamaan diatas setara dengan :
\(\mathrm{\frac{x-4}{x}\leq 0}\)

Pembuat nol :
x − 4 = 0  ⇒ x = 4
x = 0

Syarat :
x ≠ 0

Karena pertidaksamaan bertanda "≤", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {0 < x ≤ 4}


Fungsi definit negatif dalam suatu pertidaksamaan rasional dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan harus diubah atau dibalik.

Contoh 6
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{-x^{2}+x-2}{x^{2}-4x+3}\leq 0}\)

Jawab :
\(\mathrm{\frac{-x^{2}+x-2}{(x-1)(x-3)}\leq 0}\)

−x2 + x − 2 merupakan fungsi definit negatif, dapat dibuktikan dengan syarat definit negatif yaitu : a < 0 dan D < 0.

Jadi, −x2 + x − 2 dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan harus diubah atau dibalik, sehingga pertidaksamaan diatas setara dengan :
\(\mathrm{\frac{1}{(x-1)(x-3)}\geq 0}\)

Pembuat nol :
(x − 1)(x − 3) = 0  ⇒ x = 1 atau x = 3

Syarat :
(x − 1)(x − 3) ≠ 0  ⇒ x ≠ 1 atau x ≠ 3

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < 1 atau x > 3}

Latihan Soal Pertidaksaman Rasional


Latihan 1
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{2x-1}{x+2}\geq 1}\)

Jawab :
⇔ \(\mathrm{\frac{2x-1}{x+2}}\) − 1 ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{2x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{2x-1-x-2}{x+2}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x-3}{x+2}}\) ≥ 0

Pembuat nol :
x − 3 = 0  ⇒ x = 3
x + 2 = 0  ⇒ x = −2

Syarat :
x + 2 ≠ 0  ⇒ x ≠ −2

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < −2 atau x ≥ 3}


Latihan 2
Tentukan HP dari \(\mathrm{2>\frac{5x}{x-4}}\)

Jawab :
Pertidaksamaan diatas dapat ditulis menjadi :
\(\mathrm{\frac{5x}{x-4}}\) < 2

⇔ \(\mathrm{\frac{5x}{x-4}}\) − 2 < 0
⇔ \(\mathrm{\frac{5x}{x-4}-\frac{2(x-4)}{x-4}}\) < 0
⇔ \(\mathrm{\frac{5x-2x+8}{x-4}}\) < 0
⇔ \(\mathrm{\frac{3x+8}{x-4}}\) < 0

Pembuat nol :
3x + 8 = 0  ⇒ x = \(-\frac{8}{3}\)
x − 4 = 0  ⇒ x = 4

Syarat :
x − 4 ≠ 0  ⇒ x ≠ 4

Karena pertidaksamaan bertanda "<", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {\(-\frac{8}{3}\) < x < 4}


Latihan 3
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{1-3x}{2x-2}\leq \frac{1}{2}}\)

Jawab :
⇔ \(\mathrm{\frac{1-3x}{2x-2}-\frac{1}{2}}\) ≤ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{1-3x}{2(x-1)}-\frac{1(x-1)}{2(x-1)}}\) ≤ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{1-3x-x+1}{2(x-1)}}\) ≤ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{2-4x}{2(x-1)}}\) ≤ 0

Pembuat nol :
2 − 4x = 0  ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
x − 1 = 0  ⇒ x = 1

Syarat :
x − 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda "≤", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x ≤ \(\frac{1}{2}\) atau x > 1}


Latihan 4
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{x^{2}+3x}{x+1}\geq 3}\)

Jawab :
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}+3x}{x+1}}\) − 3 ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}+3x}{x+1}}\) − \(\mathrm{\frac{3(x+1)}{x+1}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}+3x-3x-3}{x+1}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}-3}{x+1}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{x+1}}\) ≥ 0


Pembuat nol :
(x + √3)(x − √3) = 0  ⇒ x = √3 atau x = −√3
x + 1 = 0  ⇒ x = −1

Syarat :
x + 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ −1

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {−√3 ≤ x < −1 atau x ≥ √3}

Latihan 5
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{x+1}{x-2}\geq \frac{1}{x-1}}\)

Jawab :
⇔ \(\mathrm{\frac{x+1}{x-2}-\frac{1}{x-1}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{(x+1)(x-1)-(x-2)}{(x-2)(x-1)}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}-1-x+2}{(x-2)(x-1)}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}-x+1}{(x-2)(x-1)}}\) ≥ 0

x2 − x + 1 merupakan fungsi definit positif, sehingga dapat diabaikan tanpa harus mengubah atau membalik tanda pertidaksamaan.

Jadi pertidaksamaan diatas setara dengan
\(\mathrm{\frac{1}{(x-2)(x-1)}}\) ≥ 0

Pembuat nol :
(x − 2)(x − 1) = 0  ⇒ x = 2 atau x = 1

Syarat :
(x − 2)(x − 1) ≠ 0  ⇒ x ≠ 2 atau x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < 1 atau x > 2}


Latihan 6
Tentukan HP dari \(\mathrm{\frac{4}{-x^{2}-4}\geq \frac{1}{x-1}}\)

Jawab :
⇔ \(\mathrm{\frac{4}{-x^{2}-4}-\frac{1}{x-1}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{4(x-1)-(-x^{2}-4)}{(-x^{2}-4)(x-1)}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{4x-4+x^{2}+4}{(-x^{2}-4)(x-1)}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x^{2}+4x}{(-x^{2}-4)(x-1)}}\) ≥ 0
⇔ \(\mathrm{\frac{x(x+4)}{(-x^{2}-4)(x-1)}}\) ≥ 0

−x2 − 4 merupakan fungsi definit negatif sehingga dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan diubah atau dibalik.

Jadi pertidaksamaan diatas setara dengan
\(\mathrm{\frac{x(x+4)}{x-1}}\) ≤ 0

Pembuat nol :
x(x + 4) = 0  ⇒ x = 0 atau x = −4
x − 1 = 0  ⇒ x = 1

Syarat :
x − 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda "≤" maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x ≤ −4 atau 0 ≤ x < 1}

Comment Policy: Silahkan tuliskan komentar Anda yang sesuai dengan topik postingan halaman ini. Komentar yang berisi tautan tidak akan ditampilkan sebelum disetujui.
Buka Komentar
Tutup Komentar